Question

（2011•山東）等比數列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且其中的任何兩個數不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：b_n=a_n+（﹣1）ⁿlna_n，求數列{b_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

（1）a_n=2•3^n﹣1，n∈N*．
（2）S_2n=3²ⁿ+nln3﹣1

（1）當a₁=3時，不符合題意；
當a₁=2時，當且僅當a₂=6，a₃=18時符合題意；
當a₁=10時，不符合題意；
所以a₁=2，a₂=6，a₃=18，
∴公比為q=3，
故：a_n=2•3^n﹣1，n∈N*．
（2）∵b_n=a_n+（﹣1）ⁿlna_n
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿln（2•3^n﹣1）
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿ[ln2+（n﹣1）ln3]
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿ（ln2﹣ln3）+（﹣1）ⁿnln3
∴S_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=2（1+3+…+3^2n﹣1）+[﹣1+1﹣1+…+（﹣1）²ⁿ]•（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+…+（﹣1）²ⁿ2n]ln3
=
=3²ⁿ+nln3﹣1
∴數列{b_n}的前2n項和S_2n=3²ⁿ+nln3﹣1．