Question

【題目】如圖：在直角坐標系中，設橢圓的左右兩個焦點分別為、.過右焦點與軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個交點為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的一個頂點為，求點M到直線的距離；

（3）過中點的直線交橢圓于P、Q兩點，求長的最大值以及相應的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

【解析】

（1）設右焦點為，令，代入橢圓方程，可得，，解方程可得，，進而得到橢圓方程；（2）求得直線的方程，由點到直線的距離公式，計算即可得到所求值；（3）過中點的直線的方程設為，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理即可得到弦長的取值范圍，再由斜率為0，求得直線方程，代入橢圓方程，求得的長，即可得到最大值．

（1）設右焦點為，

令，代入橢圓可得，由，即有，，

又，解得，，

則橢圓方程為.

（2）由題意可得，，

直線的方程為，

則點到直線的距離為；

（3）過中點的直線的方程設為，

代入橢圓方程，可得，
由于中點在橢圓內，故直線與橢圓相交，

設交點，，即有，，

弦長

，

令，

則，

當，即時，取得最小值，

即有，

當直線時，代入橢圓方程，可得，

即有，

綜上可得，的最大值為，此時直線方程為．