Question

【題目】已知動點到點的距離與它到直線的距離的比值為,設動點形成的軌跡為曲線..

（1）求曲線的方程;

（2）過點的直線與曲線交于兩點,過點作,垂足為，過點作,垂足為,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設出點，根據圓錐曲線的統一定義可得出曲線的方程；

（2）要求的取值范圍，通過統一定義可轉化求的取值范圍，根據圖形又可以轉化為求的取值范圍，運用韋達定理進行減元，構造函數求出結果。

解:（1）設,

由題意,得，

整理化簡得，

故曲線的方程為，

（2）當直線的斜率為時，

當直線的斜率不為時，

設直線的方程為

由消去,

化簡整理得，，

顯然，

由韋達定理可得：

設，

即

①

②

由①②消去，可得

（ⅰ）當時，，

（ⅱ）當時，，

解得且，

綜合（ⅰ）（ⅱ）得：

綜上得：。