Question

【題目】如圖，四邊形為矩形，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若三棱錐的體積記為，四棱錐的體積記為，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，，記它們的交點(diǎn)為，連接，利用中位線可得，再利用線面平行的判定定理可證.

（2）設(shè)，取中點(diǎn)，利用三棱錐的體積公式和，可得，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量可得二面角的余弦值.

（1）連接，，記它們的交點(diǎn)為，連接

因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，∴為中點(diǎn)，

又為線段的中點(diǎn)，∴，

而平面，平面

∴平面．

（2）∵矩形，∴，

又，∴，，∴平面，

設(shè)，取中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，∴，

又因?yàn)?/span>平面，

∴，，∴平面，且，

設(shè)三棱錐的高為，則，∴，

由得，解得，

由題意，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

∵，∴，

易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則

令則得平面的一個(gè)法向量，

因?yàn)槎�面�?/span>為銳角二面角，

所以二面角的余弦值為．