Question

【題目】如圖，已知圓錐和圓柱的組合體（它們的底面重合），圓錐的底面圓半徑為， 為圓錐的母線， 為圓柱的母線， 為下底面圓上的兩點，且， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先根據平幾知識計算得,再根據圓柱性質得平面，即有，最后根據線面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角之間關系求解

試題解析：解：（1）依題易知，圓錐的高為，又圓柱的高為，

所以，

因為，所以，

連接，易知三點共線， ，

所以，

所以，

解得，又因為，圓的直徑為10，圓心在內，

所以易知，所以．

因為平面，所以，因為，所以平面．

又因為平面，所以平面平面．

（2）如圖，以為原點， 、所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．

則．

所以，

設平面的法向理為，

所以，令，則．

可取平面的一個法向量為，

所以，

所以二面角的正弦值為．