Question

【題目】函數f（x）是定義在R上的減函數，且f（x）＞0恒成立，若對任意的x，y∈R，都有f（x﹣y）= ，
（1）求f（0）的值，并證明對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）；
（2）若f（﹣1）=3，解不等式 ≤9．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，y=0得f（0）= =1，

∴f（0）=1

令x=a+b，y=b，則x﹣y=a，

又∵f（x﹣y）= ，

∴f（a+b）=f（a）f（b）

∴f（x+y）=f（x）f（y）

（2）解：由（1）知f（x2）f（10）=f（x2+10），

∴ = =f（x2﹣7x+10），

又∵f（﹣1）=3，∴9=3×3=f（﹣1）×f（﹣1）=f（﹣2）

又∵ ≤9．

∴f（x2﹣7x+10）≤f（﹣2）

又∵f（x）在R上單調遞減，

∴x2﹣7x+10≥﹣2

解得：x≤3或x≥4，即原不等式的解集為（﹣∞，3）∪（4，+∞）

【解析】（1）利用賦值法結合條件進行轉化求解證明即可．（2）根據抽象函數的關系進行轉化，結合函數單調性進行求解即可．