Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，點D是BC的中點．
（I）求證：A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求證：△AB₁D為直角三角形；
（Ⅲ）若三棱錐B₁-ACD的體積為

3

3

，求棱BB₁的長．

Answer 1

證明：（I）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁∥AC
又∵A₁C₁?平面AB₁C，AC?平面AB₁C；
∴A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）∵△ABC為等邊三角形
∴AD⊥BC，
又∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥側面BC₁，
∴AD⊥側面BC₁，
又∵B₁D?側面BC₁，
∴AD⊥B₁D
即：△AB₁D為直角三角形；
（Ⅲ）設棱BB₁的長為X
則正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中所有棱長全為X
則S△B1CD=

1

4

X2，AD=

3

2

X
則三棱錐B₁-ACD的體積V=

1

3

•S△B1CD•AD=

3

24

X3=

3

3

，
解得X=2
即棱BB₁的長為2