Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若，是否存在整數(shù)使對(duì)任意成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極大值不存在極小值；（2）2

【解析】

（1）通過求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，求得為的極大值點(diǎn)，求解得到函數(shù)極大值，根據(jù)單調(diào)性可知無極小值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意，恒成立問題，分別在和兩種情況下討論；當(dāng)時(shí)，由可知不合題意；當(dāng)時(shí)，可求得最大值為，只需最大值即可，由此得到，經(jīng)驗(yàn)證可得為滿足題意的最小整數(shù).

（1）

令，則

分析知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

函數(shù)在處取得極大值，不存在極小值

（2）據(jù)題意，得對(duì)任意成立

對(duì)任意成立

設(shè)函數(shù)

可知對(duì)任意成立

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意成立，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增

又

不滿足題設(shè)；

②當(dāng)時(shí)，

令，則（舍），

分析知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

又函數(shù)在上單調(diào)遞減

所求整數(shù)的最小值為