Question

【題目】如圖，一個正和一個平行四邊形ABDE在同一個平面內，其中，，AB，DE的中點分別為F，G.現沿直線AB將翻折成，使二面角為，設CE中點為H.

（1）（i）求證：平面平面AGH；

（ii）求異面直線AB與CE所成角的正切值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) （i）證明見解析；（ii） (2)

【解析】

（1）（i）通過證明四邊形為平行四邊形證得；通過三角形中位線證得，由此證得平面平面AGH.

（ii）根據和判斷是兩個異面直線與所成角.用勾股定理求得，利用余弦定理求得，由此求得異面直線與所成角的正切值.

（2）根據二面角的定義，判斷出即為二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值.

（1）（i）證明：連FD.因為ABDE為平行四邊形，F、G分別為AB、DE中點，

所以FDGA為平行四邊形，所以.-

又H、G分別為CE、DE的中點，所以.

FD、平面AGH，AG、平面AGH，所以平面AGH，平面AGH，而FD、平面CDF，所以平面平面AGH.

（ii）因為，所以或其補角即為異面直線AB與CE所成的角.

因為ABC為正三角形，，F為AB中點，所以，,從而平面CFD，而，所以平面CFD，因為平面CFD，所以.-

由條件易得，，又為二面角的平面角，所以，所以，所以.

（2）由（1）的（ii）知平面CFD，即，，所以即為二面角的平面角.

.