Question

（本題滿分14分）
已知函數，，
（Ⅰ）當時，若在上單調遞增，求的取值范圍；
（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數對：當是整數時，存在，使得是的最大值，是的最小值；
（Ⅲ）對滿足（Ⅱ）的條件的一個實數對，試構造一個定義在，且上的函數，使當時，，當時，取得最大值的自變量的值構成以為首項的等差數列。

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，
若，，則在上單調遞減，不符題意。
故，要使在上單調遞增，必須滿足，
∴。 （4分）
（Ⅱ）若，，則無最大值，故，
∴為二次函數，
要使有最大值，必須滿足，即且，
此時，時，有最大值。
又取最小值時，，依題意，有，
則，
∵且，∴，得，此時或。
∴滿足條件的實數對是。  （9分）            
（Ⅲ）當實數對是時，        （14分）   
依題意，只需構造以2（或2的正整數倍）為周期的周期函數即可。
如對，，
此時，，
故

略