Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，分別為，中點，．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析，（Ⅱ）（Ⅲ）不存在.

【解析】

試題（Ⅰ）證明線面平行，關鍵在于找出線線平行.本題條件含中點，故從中位線上找線線平行.，分別為，中點，在△中，是中點，是中點，所以∥．又因為平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）求二面角的大小，有兩個思路，一是作出二面角的平面角，這要用到三垂線定理及其逆定理，利用側面底面，可得底面的垂線，再作DF的垂線，就可得二面角的平面角，二是利用空間向量求出大小.首先建立空間坐標系. 取中點．由側面底面易得面．以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系．再利用兩平面法向量的夾角與二面角的平面角的關系，求出結果，（Ⅲ）存在性問題，一般從假設存在出發，構造等量關系，將存在是否轉化為方程是否有解.

證明：（Ⅰ）如圖，連結．

因為底面是正方形，

所以與互相平分．

又因為是中點，

所以是中點．

在△中，是中點，是中點，

所以∥．

又因為平面，平面，

所以∥平面． 4分

（Ⅱ）取中點．在△中，因為，

所以．

因為面底面，

且面面，

所以面．

因為 平面

所以．

又因為是中點，

所以 ．

如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系．

因為，所以，則，，，，，，，．

于是，，．

因為面，所以是平面的一個法向量．

設平面的一個法向量是．

因為所以即

令則．

所以．

由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為． 10分

（Ⅲ）假設在棱上存在一點，使面．設，

則． 由（Ⅱ）可知平面的一個法向量是．

因為面，所以．

于是，，即．

又因為點在棱上，所以與共線．

因為，，

所以．

所以，無解．

故在棱上不存在一點，使面成立． 14分