Question

（2013•順義區二模）為增強市民的節能環保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者．從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區間是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．
（I）求圖中x的值并根據頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數；
（II）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動，再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于0．即可得出x，再用頻率×總體容量即可．
（II）分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取20名；則其中年齡“低于35歲”的人有20×（0.01+0.04+0.07）×5=12名，“年齡不低于35歲”的人有8名．X的可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布即可得出，再利用數學期望的計算公式即可得出．

解答：解：（I）∵小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于1．
∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，
解得x=0.06．
500名志愿者中，年齡在[35，40）歲的人數為0.06×5×500=150（人）．
（II）用分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取20名，
則其中年齡“低于35歲”的人有12名，
“年齡不低于35歲”的人有8名．
故X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）=

C 3 8

C 3 20

=

14

285

，P(X=1)=

C 1 12 C 2 8

C 3 20

=

28

95

，P(X=2)=

C 2 12 C 1 8

C 3 20

44

95

，P(X=3)=

C 3 12

C 3 20

=

11

57

．
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P	14 285	28 95	44 95	11 57

∴EX=0×

14

285

+1×

28

95

+2×

44

95

+3×

11

57

=

171

95

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖的性質、分層抽樣、超幾何分布及其數學期望、概率計算公式等基礎知識與基本技能，屬于中檔題．