Question

已知函數f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，試求a，b的值，
（1）并求出f（x）的單調區間
（2）在區間[-2，2]上的最大值與最小值
（3）若關于x的方程f（x）=α有3個不同實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函數f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x
∴f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函數f（x）的單調增區間為：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），減區間為：（-

1

3

，1）
（2）由（1）可得函數f（x）在[-2，-

1

3

）上是增函數，在[-

1

3

，1）上是減函數，在[1，2]上是增函數
且f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2
∴函數f（x）在閉區間[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值為f（-2）=-10
（3）由（1）函數f（x）的單調增區間為：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），減區間為：（-

1

3

，1），
∴當x=-

1

3

時，函數f（x）有極大值f（-

1

3

）=

5

27

，當x=1時，函數f（x）有極小值f（1）=-1，
∴若關于x的方程f（x）=α有3個不同實根，則必有-1＜a＜

5

27

．