Question

某地方政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形的高科技工業園區，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=6km，AO=3km，曲線段OC是二次函數y=ax²圖象的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應如何規劃才能使矩形工業園區BQPN的用地面積最大？并求出最大的用地面積．

Answer 1

依題意點C（3，6）在y=ax²的圖象上，代入得y=

2

3

x2（0≤x≤3）．
設P(x，

2

3

x2)（0≤x≤3）是曲線段OC上的任意一點，則|PQ|=3+x，|PN|=6-

2

3

x2．
∴工業園區面積S_BQPN=|PQ|•|PN|=(3+x)(6-

2

3

x2)=-

2

3

x3-2x2+6x+18（0≤x≤3）．
∴S′=-2x²-4x+6，令S′=0解得x=1或3．
又∵0≤x＜3，∴x=1．
當x∈[0，1）時，S′＞0，S是x的增函數；
當x∈（1，3）時，S′＜0，S是x的減函數．
∴x=1時，S取到極大值，也是最大值，
此時|PQ|=3+x=4，|PN|=6-

2

3

x2=

16

3

，S=4×

16

3

=

64

3

，
所以當x=1即|PM|=4，|PN|=

16

3

時，矩形的面積最大為

64

3

（km²）．