Question

已知函數，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若數列x_n的項滿足x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，試求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想數列x_n的通項，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．我們可以構造關于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即得到函數f（x）的表達式；
（2）根據x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，我們分別令n=1，2，3，4，即可法求出x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）根據（2）中數列的前4項，分析他們之間呈現的規律，歸納推理后，即可得到數列x_n的通項公式，然后利用數學歸納法，即可證明結論．
解答：解：（1）∵，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
∴=log₁₆2=，=1
解得：
∴函數
（2）由（1）中
∴x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
當n=1時，．
當n=2時，，
當n=3時，，
當n=4時，
（3）由（2）中結論我們易得：．
當n=1時，結論顯然成立
設n=k時，結論成立，即
則當n=k+1時，==
即n=k+1時，結論也成立．
故．
點評：本題考查的知識點是函數解析式的求出及數學歸納法，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．