Question

已知四點O（0，0），，M（0，1），N（0，2）．點P（x，y）在拋物線x²=2y上
（Ⅰ）當x=3時，延長PN交拋物線于另一點Q，求∠POQ的大小；
（Ⅱ）當點P（x，y）（x≠0）在拋物線x²=2y上運動時，
ⅰ）以MP為直徑作圓，求該圓截直線所得的弦長；
ⅱ）過點P作x軸的垂線交x軸于點A，過點P作該拋物線的切線l交x軸于點B．問：是否總有∠FPB=∠BPA？如果有，請給予證明；如果沒有，請舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當x=3時，，，，把直線PN：代入x²=2y，得，由此入手能求出∠POQ=90°．
（Ⅱ）ⅰ）以MP為直徑的圓的圓心為，，
所以圓的半徑，圓心到直線的距離，由此能求出截得的弦長．
（Ⅱ）總有∠FPB=∠BPA．證明：，y'=x，，所以切線l的方程為，令y=0，得，所以點B的坐標為，點B到直線PA的距離為，再求出直線PF的方程（x²-1）x-2xy+x=0，
所以點B到直線PF的距離為，由此知∠FPB=∠BPA．
解答：解：（Ⅰ）當x=3時，，，
直線PN：代入x²=2y，得，，
所以，=，
所以∠POQ=90°（5分）
（Ⅱ）ⅰ）以MP為直徑的圓的圓心為，，
所以圓的半徑，
圓心到直線的距離；
故截得的弦長（10分）
（Ⅱ）總有∠FPB=∠BPA．（11分）
證明：，y'=x，，
所以切線l的方程為，即
令y=0，得，所以點B的坐標為（12分）
點B到直線PA的距離為，
下面求直線PF的方程
因為，所以直線PF的方程為，
整理得（x²-1）x-2xy+x=0
所以點B到直線PF的距離為，
所以d₁=d₂
所以∠FPB=∠BPA（15分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．