Question

【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接

（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫

出結論）；若不是，說明理由；

（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（解法1）（Ⅰ）因為底面，所以，

由底面為長方形，有，而，

所以．而，所以．

又因為，點是的中點，所以．

而，所以平面．而，所以．

又，，所以平面．

由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，

即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為．

（Ⅱ）如圖1，在面內，延長與交于點，則是平面與平面

的交線．由（Ⅰ）知，，所以．

又因為底面，所以．而，所以．

故是面與面所成二面角的平面角，

設，，有，

在Rt△PDB中, 由, 得,

則, 解得．

所以

故當面與面所成二面角的大小為時，．

（解法2）

（Ⅰ）如圖2，以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系．

設，，則，，點是的中點，

所以，，

于是，即．

又已知，而，所以．

因,, 則, 所以．

由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，

即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為．

（Ⅱ）由，所以是平面的一個法向量；

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個法向量．

若面與面所成二面角的大小為，

則，

解得．所以

故當面與面所成二面角的大小為時，．