Question

已知F為橢圓（a＞b＞0）的右焦點，直線l過點F且與雙曲線的兩條漸進線l₁，l₂分別交于點M，N，與橢圓交于點A，B．
（Ⅰ）若，雙曲線的焦距為4．求橢圓方程．
（Ⅱ）若（O為坐標原點），，求橢圓的離心率e．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由雙曲線的兩條漸近線的夾角以及雙曲線的焦點位置可得到關于a，b的等式，再根據雙曲線的焦距又可得到一個含a，b的等式，解得a，b的值，代入橢圓中，即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）根據可知直線l垂直于l₁，因為l₁是雙曲線的漸近線，可求出l₁的方程，再根據l垂直于l₁，就可得到l的斜率，再根據F點坐標求出直線l的方程，再由求出A點坐標，代入橢圓方程，就可得到關于a，c的齊次式，因為離心率e=，即可求出離心率e．
解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線的焦點在x軸上，
∴漸近線方程為y=±x
∴漸進線l₁的斜率為
又∵，M，N是直線l與雙曲線兩條漸近線l₁，l₂的交點，
∴漸進線l₁的傾斜角為，
∴，即
∵雙曲線的焦距為4，
∴a²+b²=4．
把代入，得，a²=3，b²=1
∴橢圓方程為
（Ⅱ）解：設橢圓的焦距為2c，則點F的坐標為（c，0）
∵，∴l⊥l₁
∵直線l₁的方程為y=x，∴直線l的斜率為，
∴直線l的方程為
聯立l₁，l方程，由解得
即點
設A（x，y），由，得
即，解得，
∴
∵點A在橢圓上，代入橢圓方程，得
即 （3c²+a²）²+a⁴=16a²c²，
∴（3e²+1）²+1=16e²，即9e⁴-10e²+2=0
解得
∴
橢圓的離心率是
點評：本題（Ⅰ）主要考查了雙曲線的漸近線方程，以及雙曲線中a，b，c之間的關系的應用．（Ⅱ）考查了直線與圓錐曲線關系的判斷，以及橢圓離心率的求法．