Question

【題目】動圓M與圓（x﹣1）2+y2=1相外切且與y軸相切，則動圓M的圓心的軌跡記C，
（1）求軌跡C的方程；
（2）定點A（3，0）到軌跡C上任意一點的距離|MA|的最小值；
（3）經過定點B（﹣2，1）的直線m，試分析直線m與軌跡C的公共點個數，并指明相應的直線m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范圍情況[要有解題過程，沒解題方程只有結論的只得結論分]．

Answer 1

【答案】
（1）解：設動圓圓心M的坐標為（x，y），則 ，

∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，

當x＜0時，y=0；當x≥0時，y2=4x

（2）解：如圖，由圖可知，M到軌跡C上的點與A的距離最小，則M在拋物線y2=4x上，

設M（x，y），則|MA|= = = ．

∴當x=1，即M（1，±2）時，|MA|的最小值為2

（3）解：設過B與拋物線y2=4x相切的直線方程為y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，

聯立 ，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．

由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k= ．

∴當直線m的斜率k不存在時或斜率存在為0時或直線m的斜率k∈（ ，+∞）∪（﹣∞，﹣1）時，m與C有1個交點；

當直線m的斜率為k=﹣1或k= 或k∈[﹣ ，0）時，m與C有2個交點；

當直線m的斜率k∈（0， ）∪（﹣1，﹣ ）時，m與C有3個交點．

【解析】（1）設出動圓圓心M的坐標，利用動圓M與y軸相切且與圓（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化簡得答案；（2）設M的坐標，利用兩點間的距離公式結合配方法求得定點A（3，0）到軌跡C上任意一點的距離|MA|的最小值；（3）寫出過B斜率存在的直線方程，聯立直線方程與拋物線方程，由判別式等于0求得k值，再結合圖形求得直線m與軌跡C的公共點個數，并分析對應的斜率情況．