Question

【題目】已知數列{an}滿足a1= 且an+1=an﹣an2（n∈N*）
（1）證明：1＜ ≤2（n∈N*）；
（2）設數列{an2}的前n項和為Sn ， 證明 （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，

故an≤ ，1≤ ．

由an=（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．

所以0＜an≤ （n∈N*），

又∵a2=a1﹣ = ，∴ = =2，

又∵an﹣an+1= ，∴an＞an+1，∴ ＞1，

∴ = = ≤2，

∴1＜ ≤2（n∈N*），

綜上所述，1＜ ≤2（n∈N*）

（2）證明：由已知， =an﹣an+1， =an﹣1﹣an，…， =a1﹣a2，

累加，得Sn= + +…+ =a1﹣an+1，①

由an+1=an﹣an2兩邊同除以an+1an得， 和1≤ ≤2，

得1≤ ≤2，

累加得1+1+…1≤ + ﹣ +…+ ﹣ ≤2+2+…+2，

所以n≤ ﹣ ≤2n，

因此 ≤an+1≤ （n∈N*） ②，

由①②得 ≤ （n∈N*）

【解析】（1）通過題意易得0＜an≤ （n∈N*），利用an﹣an+1= 可得 ＞1，利用 = = ≤2，即得結論；（2）通過 =an﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1 ， 對an+1=an﹣an2兩邊同除以an+1an采用累積法可求出an+1的范圍，從而得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．