Question

【題目】下列四個命題：①當為任意實數(shù)時，直線恒過定點P，則過點P且焦點在軸上的拋物線的標準方程是；②已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為 ，則雙曲線的標準方程是；③拋物線的準線方程為；④已知雙曲線 ，其離心率，則的取值范圍是.

其中正確命題的序號是___________．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①先由直線方程求出點P坐標，進而可得出所求拋物線方程；即可判斷①的真假；

②根據(jù)雙曲線的焦點坐標，以及漸近線方程得到的值，進而可得出所求雙曲線方程；判斷出②的真假；③由拋物線方程直接得到準線方程，從而可得③的真假；④根據(jù)雙曲線方程與離心率范圍，求出的取值范圍，即可判斷出④的真假.

①因為直線可化為，由得，即，設焦點在軸上的拋物線的標準方程為，由拋物線過點，可得，所以，故所求拋物線的方程為；故①正確；

②因為雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為 ，所以，又，所以，故所求雙曲線的方程為；故②正確；

③拋物線的標準方程為，所以其準線方程為；故③正確；

④因為為雙曲線，所以，又離心率為，

所以，解得，故④正確.

故答案為①②③④