Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，直線：與橢圓相交于、兩點，橢圓的上頂點與焦點關于直線對稱，且．斜率為的直線與線段相交于點，與橢圓相交于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為；（2）四邊形面積的取值范圍.

【解析】

（1）根據對稱得，再根據，聯立方程組解得,（2）根據垂直得，再聯立直線方程與橢圓方程，根據韋達定理以及弦長公式得，代入可得面積函數關系式，最近根據范圍確定面積范圍.

（Ⅰ）由頂點與焦點關于直線：對稱，知，即

又，得，，所以橢圓方程為；

（Ⅱ） 設直線方程：，、，

由，得，所以

由（Ⅰ）知直線：，代入橢圓得，得

由直線與線段相交于點，得

而與，知，

由，得，所以

四邊形面積的取值范圍．