Question

（2008•河西區(qū)三模）若a，b∈R，記max{a，b}=

a，(a≥b) b，(a＜b)

函數(shù)f（x）=max{|x-1|，5-x²}（x∈R），則函數(shù)f（x）的最小值是

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)max{a，b}的定義，分類討論得到f（x）的分段函數(shù)的表達(dá)式．再由函數(shù)x＜

1- 17

2

或x＞2時(shí)，|x-1|的最小值大于1，而

1- 17

2

≤x≤2時(shí)5-x²的最小值為1，由此可得函數(shù)的最小值為1．

解答：解：①當(dāng)|x-1|≤5-x²時(shí)，即-5+x²≤x-1≤5-x²，
解之得

1- 17

2

≤x≤2時(shí)，f（x）=max{|x-1|，5-x²}=5-x²，
②當(dāng)x＜

1- 17

2

或x＞2時(shí)，|x-1|＞5-x²，
f（x）=max{|x-1|，5-x²}=|x-1|
綜上所述，f（x）=

|x-1|   (x＜ 1- 17 2 或x＞2) 5-x2     ( 1- 17 2 ≤x≤2)

∵x＜

1- 17

2

或x＞2時(shí)，|x-1|＞|2-1|=1

1- 17

2

≤x≤2時(shí)，5-x²的最小值為5-2²=1
∴函數(shù)f（x）的最小值是1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題給出max{a，b}的定義，求函數(shù)f（x）的最小值．著重考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)最值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．