Question

【題目】設函數的反函數為，若存在函數使得對函數定義域內的任意都有，則稱函數為函數的“Inverse”函數.

（1）判斷下列哪個函數是函數的“Inverse”函數并說明理由.

①；②；

（2）設函數存在反函數，證明函數存在唯一的“Inverse”函數的充要條件是函數的值域為；

（3）設函數存在反函數，函數為的一個“Inverse”函數，記，其中，若對函數定義域內的任意都有，求所有滿足條件的函數的解析式.

Answer 1

【答案】（1）②是函數f(x)=log2x的“Inverse”函數，理由見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）分別判斷①和②是否滿足即可得到結果；

（2）先證充分性，若函數的值域為，設其定義域為D，則函數的定義域為，值域為D， 令，，判斷是否滿足，證明其存在性，再設函數和都為函數的“Inverse”函數且不相同，利用反證法證明唯一性；再證必要性，若函數存在唯一的“Inverse”函數，同樣利用反證法，假設函數的值域為，令，，通過證明函數和都為函數的“Inverse”函數且不相同，這與唯一性矛盾，從而得證；

（3）由（2）知，是的一個“Inverse”函數，易得，，即，根據一一對應的性質可得，所以.

（1）易得，對于①，，故①不是，

對于②，，故②是函數的“Inverse”函數；

（2）先證充分性，若函數的值域為，設其定義域為D，

則函數的定義域為，值域為D，

令，，

則對任意都有，，

故函數為函數的“Inverse”函數，存在性得證；

設函數和都為函數的“Inverse”函數且不相同，

則存在，，，且，因為的值域為，

故存在，使得，即，，

則，矛盾，故唯一性得證.

所以函數存在唯一的“Inverse”函數.

再證必要性，若函數存在唯一的“Inverse”函數，

即存在唯一的函數滿足，下面用反證法證明必要性.

假設函數的值域為，

令，，

則對任意都有，，

且，，

函數和都為函數的“Inverse”函數且不相同，這與唯一性矛盾，

所以函數的值域為，必要性得證.

綜上，函數存在唯一的“Inverse”函數的充要條件是函數的值域為；

（3）由（2）知，是的一個“Inverse”函數，

由反函數的性質可知，和都是一一對應的.

則，

又，則，

即，根據一一對應的性質可得，

則，所以滿足條件的函數的解析式為.