Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c
（1）若f（x）在x=-

2

3

和x=1時都取得極值，求實數(shù)a，b的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（0）=0，f（1）=1，f（x）在（-2，

1

4

）上有極大值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出f′（x）并令其為0得到方程，把x=-

2

3

和x=1代入求出a、b即可，再求出f′（x），分別令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出x的范圍，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（0）=0，f（1）=1，得到c=0，b=-a，再求f（x）的導數(shù)，由題意可得

f′(-2)＞0 f′( 1 4 )＜0

，解不等式即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意：

f′(- 2 3 )=0 f′(1)=0

即

3×(- 2 3 )2- 4a 3 +b=0 3+2a+b=0

，
解得

a=- 1 2 b=-2

，
即有f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）＜0，解得-

2

3

＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-

2

3

或x＞1，
∴f（x）的減區(qū)間為（-

2

3

，1）；增區(qū)間為（-∞，-

2

3

），（1，+∞）；
（2）若f（0）=0，f（1）=1，則c=0，1+a+b+c=1，則有b=-a，c=0，
則有f（x）=x³+ax²-ax，f′（x）=3x²+2ax-a，
由于f（x）在（-2，

1

4

）上有極大值，
即為

f′(-2)＞0 f′( 1 4 )＜0

即

12-4a-a＞0 3 16 + 1 2 a-a＜0

，
解得，

3

8

＜a＜

12

5

．
則實數(shù)a的取值范圍為（

3

8

，

12

5

）．

點評：考查學生利用導數(shù)求函數(shù)極值的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，考查二次方程實根的分布，考查運算能力，屬于中檔題．