Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-

kx

1+x

，k∈R．
（1）討論f（x）的單調區間；
（2）當k=1時，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并證明

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

＜ln（1+n）．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞）．f′（x）=

x+1-k

(1+x)2

，對k分類討論：當k≤0時，當k＞0時，即可得出單調性．
（2）由（1）知，當k=1時，f（x）在[0，+∞）上單調遞增，可得f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（0）=0．因此

x

1+x

＜ln(1+x)（x＞0），取x=

1

n

可得

1

1+n

＜ln(1+n)-lnn（n∈N^*）．利用“累加求和”即可得出．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞）．f′(x)=

1

1+x

-k•

1+x-x

(x+1)2

=

x+1-k

(1+x)2

，
當k≤0時，f′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，∴f（x）的單調遞增區間是（-1，+∞），無單調遞減區間．
當k＞0時，由f′（x）＞0解得x＞k-1，由f′（x）＜0得-1＜x＜k-1，
∴函數f（x）的單調遞增區間是（k-1，+∞），單調遞減區間是（-1，k-1）．

（2）由（1）知，當k=1時，f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（0）=0．
∴

x

1+x

＜ln(1+x)（x＞0），
∴

1 n

1+ 1 n

＜ln(1+

1

n

)，即

1

1+n

＜ln(1+n)-lnn（n∈N^*）．
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+（ln（n+1）-lnn）=ln（1+n）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、“累加求和”方法，考查了利用已證明結論證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．