Question

已知函數f(x)=3sin(

1

2

x-

π

4

)， x∈R．
（1）畫出函數f（x）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖；
（2）將函數y=sinx的圖象作怎樣的變換可得到f（x）的圖象？
（3）設函數g（x）=|f（x）|，求g（x）的周期、單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）用五點法作函數f（x）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖．
（2）方法一：先把y=sinx的圖象向右平移

π

4

個單位，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f（x）的圖象．
方法二：先把y=sinx的圖象所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把圖象向右平移

π

2

個單位，得到f（x）的圖象．
（3）由題意知，g（x）的周期是函數f（x）的周期的一半，解不等式 

π

2

+kπ≤

1

2

x-

π

4

≤π+kπ， k∈Z，
求得x的范圍，即可得到g（x）的單調遞減區間．

解答：解：（1）函數f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π，
由

1

2

x-

π

4

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，解得x=

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，

7π

2

，

9π

2

．列表如下：

x	π 2	3π 2	5π 2	7π 2	9π 2
1 2 x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
3sin（ 1 2 x- π 4 ）	0	3	0	-3	0

…（3分）
描出五個關鍵點并光滑連線，得到一個周期的簡圖．圖象如圖所示． …（4分）
（2）方法一：先把y=sinx的圖象向右平移

π

4

個單位，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f（x）的圖象．…（8分）
方法二：先把y=sinx的圖象所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把圖象向右平移

π

2

個單位，得到f（x）的圖象．…（8分）
（3）g（x）的周期為T′=T×

1

2

=4π×

1

2

=2π…（9分）
解不等式 

π

2

+kπ≤

1

2

x-

π

4

≤π+kπ， k∈Z，…（10分） 得 

3π

2

+2kπ≤x≤

5π

2

+2kπ， k∈Z，
所以，函數g（x）的單調遞減區間為[

3π

2

+2kπ，

5π

2

+2kπ]， k∈Z．…（12分）

點評：本題考查用五點法作y=Asin（ωx+∅）的圖象和性質，以及函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，是一道中檔題．