Question

（本小題滿分12分）
在如圖所示的空間幾何體中，△ABC，△ACD都是等邊三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。
（1）求證：DE⊥平面ACD；
（2）若AB=BE=2，求多面體ABCDE的體積。

Answer 1

解：（1）法一：△ABC，△ACD都是等邊三角形，
AE=CE，取AC中點O，連接BO，DO，EO，則
BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC ……………2分

，

ODEF是平面四邊形 ………………4分

平面ACD  ………………6分
法二：△ABC，△ACD都是等邊三角形，
AE=CE，取AC中點O，連接BO，DO，EO，則
BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC ……………2分
，平面OBE
即OB，OD，OE平面OBED
又平面ABC，DE//BO  ………………4分

∴DE⊥平面ACD  ………………6分
（2）由EF//DO，DE//OF，知DE=OF，EF=DO，
又AB=BE=2，△ABC，△ACD都是等邊三角形，EF⊥BO
 ………………8分
平面ACD，
；
又三棱錐E—ABC的體積 ………………11分
∴多面體ABCDE的體積為 ………………12分