Question

【題目】已知函數f（x）的定義域[﹣1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示

x	﹣1	0	2	4	5
F（x）	1	2	1.5	2	1

下列關于函數f（x）的命題；
①函數f（x）的值域為[1，2]；
②函數f（x）在[0，2]上是減函數
③如果當x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a最多有4個零點．
其中正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：由f（x）的導函數y=f′（x）的圖象可看出：如表格，

由表格可知：函數f（x）在區間[﹣1，0）上單調遞增，在區間（0，2）上單調遞減，在區間（2，4）上單調遞增，在區間（4，5]上單調遞增．∴②正確．
∴函數f（x）在x=0和x=4時，分別取得極大值，在x=2時取得極小值，且由對應值表f（0）=2，f（2）=1.5，
f（4）=2，又f（﹣1）=1，f（5）=1．
∴函數f（x）的值域為[1，2]．∴①正確．
根據已知的對應值表及表格畫出圖象如下圖：

③根據以上知識可得：當x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，則t=0，或4．故③不正確．
④由圖象可以看出：當1.5＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a有4個零點；當a=2時，函數y=f（x）﹣a有2個
3零點；當a=1.5時，函數y=f（x）﹣a有3個零點；當1≤a＜1.5時，函數y=f（x）﹣a有4個零點；
∴當1＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a最多有4個零點．故④正確．
綜上可知①②④正確．
所以答案是①②④．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答此題．