Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，為上一點，且.

（1）求證：平面；

（2）若，，，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】

試題分析：（1）法一：過作交于點，連接，由，推出，結合與，即可推出四邊形為平行四邊形，即可證明結論；法二：過點作于點，為垂足，連接，由題意，，則，即可推出四邊形為平行四邊形，再由平面，可推出，即可得證平面平面，從而得證結論；（2）過作的垂線，垂足為，結合平面，可推出平面，由平面，可得到平面的距離等于到平面的距離，即，再根據，，即可求出三棱錐的體積.

試題解析：（1）法一：過作交于點，連接.

∵

∴.

又∵，且，

∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

法二：過點作于點，為垂足，連接.

由題意，，則，

又∵，

∴，

∴四邊形為平行四邊形

∴.

∵平面，平面

∴.

又

∴.

又∵平面，平面；

∵平面，平面，；

∴平面平面.

∵平面

∴平面.

（2）過作的垂線，垂足為.

∵平面，平面

∴.

又∵平面，平面，；

∴平面

由（1）知，平面，

所以到平面的距離等于到平面的距離，即.

在中，，

∴.

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