Question

已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）過點（-1，2）且在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對于區間[-3，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求實數t的最小值；
（Ⅲ）當-1≤x≤1時，|f′（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把（-1，2）代入f（x）的解析式，得到關于a，b及c的關系式，記作①，求出f（x）的導函數，根據切線方程y+2=0的斜率為0，得到x=1時導函數的值為0，且把x=1代入f（x）中求出f（1），得到關于a與b的方程組，記作②，聯立①②，得到關于a，b及c的三元一次方程組，求出方程組的解即可得到a，b及c的值，進而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a，b及c的值代入導函數中確定出導函數的解析式，令導函數等于0求出x的值，然后分別求出求出的x及閉區間的端點時的函數值，得到f（x）的最大值和最小值，求出最大值與最小值的差即為|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，讓t大于等于求出的最大值即可得到t的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中求出的導函數，分別把x=0，-1，1代入導函數中，得到關于a，b及c的方程組，消去b和c，得到關于a的關系式，根據當-1≤x≤1時，|f′（x）|≤1，得到x=0，-1，1對應的導函數值都小于等于1，根據|a+b+c|小于等于|a|+|b|+|c|，即可列出關于a的不等式，求出不等式的解集進而得到a的最大值，把此時a的值代入關于a，b及c的方程組，即可求出b和c的值，把求出的a，b及c代入即可求出a取最大值時f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）過點（-1，2），
∴f（-1）=-a+b-c=2，①
又f'（x）=3ax²+2bx+c，函數f（x）點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，
∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，
∴

a+b+c=-2 3a+2b+c=0

，②
由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=3x²-3，
令f'（x）=0，解得x=±1，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴在區間[-3，2]上f_max（x）=2，f_min（x）=-18，
∴對于區間[-3，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|≤20，
∴t≥20，從而t的最小值為20；
（Ⅲ）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，
則

f′(0)=c f′(-1)=3a-2b+c f′(1)=3a+2b+c

，可得6a=f'（-1）+f'（1）-2f'（0）．
∵當-1≤x≤1時，|f'（x）|≤1，
∴|f'（-1）|≤1，|f'（0）|≤1，|f'（1）|≤1，
∴6|a|=|f'（-1）+f'（1）-2f'（0）|≤|f'（-1）|+|f'（1）|+2|f'（0）|≤4，
∴a≤

2

3

，故a的最大值為

2

3

，
當a=

2

3

時，

|f′(0)|=|c|=1 |f′(-1)|=|2-2b+c|=1 |f′(1)|=|2+2b+c|=1

，解得b=0，c=-1，
∴a取得最大值時f(x)=

2

3

x3-x．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數求閉區間上函數的最值，是一道中檔題．