Question

【題目】已知拋物線C：y2=4x與橢圓E：1（a＞b＞0）有一個公共焦點F.設拋物線C與橢圓E在第一象限的交點為M.滿足|MF|.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點P（1，）的直線交拋物線C于A、B兩點，直線PO交橢圓E于另一點Q.若P為AB的中點，求△QAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由拋物線的定義可得,則M（,）,再由橢圓的定義可得,即可求得,進而求解；

（2）設A（x1,y1）,B（x2,y2）,利用斜率公式可得,即可得到直線AB的方程,再由點到直線距離可得點到直線的距離,聯立拋物線和直線,進而利用弦長公式求得,則,即可求解.

（1）由拋物線方程可得F（1,0）,則橢圓的另一個焦點,

因為,∴M（,）,

則2a4,則a=2,

所以,

所以橢圓E的標準方程為.

（2）設A（x1,y1）,B（x2,y2）,點P（1,）在橢圓上,則Q（﹣1,）,

因為P為AB的中點,且,

則kAB,

故直線AB的方程為y（x﹣1）,即8x﹣6y+1=0,

∴Q到直線AB的距離,

聯立,整理得64x2﹣128x+1=0,

故x1+x2=2,x1x2,

則,

所以.