Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設點，直線與曲線交于不同的兩點、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程；（2）

【解析】

（1）可通過直線的參數方程求出直線的普通方程，然后使用極坐標與直角坐標之間的相互轉化求出曲線的直角坐標方程；

（2）首先可根據直線的傾斜角以及點坐標設出直線的參數方程，然后將其帶入曲線的方程中并求出的值，最后根據參數的幾何意義求出。

（1）直線的普通方程為，即，

根據極坐標與直角坐標之間的相互轉化，，

而，則，即

故直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程；

（2）點在直線上，且直線的傾斜角為，可設直線的參數方程為：

（為參數），代入到曲線的方程得：，

，，

由參數的幾何意義知，故。