Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）當時，求證：時，；

（Ⅱ）當時，計論函數的極值點個數.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析（Ⅱ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）求出，令，求出，從而判斷的單調性，由即可判斷的正負情況，從而求得在遞減，遞增；當時，成立，命題得證。

（Ⅱ）對的范圍分類討論，由的單調性求得，把看作變量，求得的單調性，從而得到（當且僅當時取等號），再對的范圍分類討論的單調性，從而判斷的單調性，從而求得極值點個數。

(Ⅰ)由，易知，設，則，當時，，又

∴時，，時，，即在遞減，遞增；所以當時，得證.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，當時，當且僅當在處取得極小值，無極大值，故此時極值點個數為1；

當時，易知在遞減，遞增，所以，又設，其中，則對恒成立，所以單調遞減，（當且僅當時取等號），所以當時，即在單調遞增，故此時極值點個數為0；

當時，，在遞增，又，所以當時，

當時，即總在處取得極小值；又當且時，，所以存在唯一使得，且當時，當時，則在處取得極大值；故此時極值點個數為2；

綜上，當時，的極值點個數為0；當時，的極值點個數為2；當時的極值點個數為1.