Question

已知橢圓C：的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（4，0）且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，設點A關于x軸的
對稱點為A₁．求證：直線A₁B過x軸上一定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

（1）；（2）定點（1，0）．

解析試題分析：（1）求橢圓C的方程，由題意，焦點坐標為，可求得，再根據橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．由等邊三角形的性質，可求得和的關系式，可求得，進而求得，則橢圓的方程可得；（2）求證：直線過軸上一定點，并求出此定點坐標．這是過定點問題，這類題的處理方法有兩種，一．可設出直線方程為，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于直線系的思想找出定點．二．從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關．本題可設直線的方程為：，與橢圓方程聯立消去，設出，，則可利用韋達定理求得和的表達式，根據點坐標求得關于軸對稱的點的坐標，設出定點，利用求得，從而得證．
試題解析：（1）橢圓C：的一個焦點是（1，0），所以半焦距，又因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，所以，解得，所以橢圓C的標準方程為；·           ５分

（2）設直線：與聯立并消去得：
.
記，，，
.            8分
由A關于軸的對稱點為，得，根據題設條件設定點為（，0），
得，即.
所以
即定點（1，0）.     13分
考點：橢圓的簡單性質；橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．