已知橢圓
：
（
）過點
，且橢圓的離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動點
在直線
上，過作直線交橢圓于
兩點，且為線段
中點，再過作直線
.證明：直線
恒過定點，并求出該定點的坐標.
（Ⅰ）
（Ⅱ）直線恒過定點
解析試題分析：(Ⅰ)點
在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因為
，且
，解方程組可得
。（Ⅱ）點在直線上，則可得
。當直線的斜率存在時設斜率為
，得到直線方程，聯立方程消掉
得關于
的一元二次方程。再根據韋達定理可得根與系數的關系。因為為中點，根據點的橫坐標解得。因為故可得直線的斜率，及其含參數
的方程。分析可得直線是否恒過定點。注意還要再討論當直線的斜率不存在的情況。
試題解析：解：（Ⅰ）因為點在橢圓上，所以
，
所以
， 1分
因為橢圓的離心率為，所以
，即
， 2分
解得
， 4分
所以橢圓的方程為. 5分
（Ⅱ）設，
，
①當直線的斜率存在時，設直線的方程為
，
，
，
由
得
， 7分
所以
， 8分
因為為中點，所以
，即
.
所以
， 9分
因為直線，所以
，
所以直線的方程為
，即
，
顯然直線恒過定點. 11分
②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線為軸，也過點. 13分
綜上所述直線恒過定點. 14
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知平面五邊形
關于直線
對稱（如圖（1）），
，
，將此圖形沿
折疊成直二面角，連接
、
得到幾何體（如圖（2））
（1）證明：
平面
；
（2）求平面
與平面
的所成角的正切值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
：
的離心率為 
，點
為其下焦點，點
為坐標原點，過 的直線 
：
（其中
）與橢圓 相交于
兩點，且滿足：
.
（1）試用 
表示 
；
（2）求 的最大值；
（3）若 
，求 
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中,已知點
和
,圓
是以為圓心,半徑為
的圓,點
是圓上任意一點，線段
的垂直平分線
和半徑
所在的直線交于點
.
（Ⅰ）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程
；
（Ⅱ）已知
，
是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足
（
為坐標原點），求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
經過如下五個點中的三個點：
，
，
，
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設點
為橢圓的左頂點，
為橢圓上不同于點的兩點，若原點在
的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（4，0）且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，設點A關于x軸的
對稱點為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點，并求出此定點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率為
且與雙曲線
：
有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線
，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設橢圓的左、右頂點分別為
，過橢圓上的一點
作
軸的垂線交軸于點
，若
點滿足
，
，連結
交
于點
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P，且斜率為－
的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由.
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,橢圓
以
的長軸為短軸,且與
,求直線
的方程.