Question

如圖所示，A、B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2，0），平行四邊形OAQP的面積為S．
（1）求t=

OA

•

OQ

+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ-

π

3

）．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量的基本定理及其意義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)公式求出t=

OA

•

OQ

+S的表達(dá)式，利用輔助角將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出函數(shù)的最大值；
（2）利用直線平行轉(zhuǎn)化為向量平行，利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵

OA

=（1，0），P（cosθ，sinθ），∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OQ

=1+cosθ，
而S=2×

1

2

|

OA

|•|

OP

|sinθ=sinθ，
∴t=

OA

•

OQ

+S=1+cosθ+sinθ=1+

2

sin（θ+

π

4

），
∵0＜θ＜π，∴當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，t=

OA

•

OQ

+S取得最大值為1+

2

；
（2）

CB

=（2，1），

OP

=（cosθ，sinθ），
由CB∥OP得cosθ=2sinθ，
又0＜θ＜π，
結(jié)合sin²θ+cos²θ=1得sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，sin2θ=

4

5

，cos2θ=

3

5

，
∴sin(2θ-

π

3

)=sin2θ•cos

π

3

-cos2θ•sin

π

3

=

4-3 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．