【題目】已知函數
，且曲線
在點
處的切線方程為
．
（1）求實數
的值及函數
的最大值；
（2）證明：對任意的
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】分析：（1）求出導函數
，已知切線方程說明
，
，代入后可得
，然后確定函數的單調區間，得出最大值；
（2）不等式為
，可用導數求得
的最小值，證明這個最小值大于0，即證得原不等式成立．
詳解：（1）函數
的定義域為
，
，因的圖象在點
處的切線方程為
，所以
解得
，所以
，故
．令
，得
，
當
時，
，單調遞增；
當
時，
，單調遞減．
所以當時，取得最大值
．
（2）證明：原不等式可變為
則
，可知函數
單調遞增，
而，
所以方程
在（0，+∞）上存在唯一實根x0，使得
．
當x∈（0，x0）時，
，函數h（x）單調遞減；
當x∈（x0，+∞）時，
，函數h（x）單調遞增；所以
.
即
在（0，+∞）上恒成立，
所以對任意x＞0，
成立．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認可．為了調查人們對這種交通方式的認可度，某同學從交通擁堵不嚴重的A城市和交通擁堵嚴重的B城市分別隨機調查了20名市民，得到了一個市民是否認可的樣本，具體數據如下
列聯表：
附：
，
．
根據表中的數據，下列說法中，正確的是（ ）
A. 沒有95% 以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”
B. 有99% 以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”
C. 可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”
D. 可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽，齊王獲勝的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】城市公交車的數量太多造成資源的浪費,太少又難以滿足乘客需求,為此,某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15名,將他們的候車時間(單位:分鐘)作為樣本分成5組,如下表所示:
組別 | 候車時間 | 人數 |
一 | [0,5) | 2 |
二 | [5,10) | 6 |
三 | [10,15) | 4 |
四 | [15,20) | 2 |
五 | [20,25] | 1 |
(1)求這15名乘客的平均候車時間
(2)估計這60名乘客候車時間少于10分鐘的人數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某研究機構對高三學生的記憶力
和判斷力
進行統計分析，得下表數據：
（1）請根據上表提供的數據，用相關系數
說明與的線性相關程度；（結果保留小數點后兩位，參考數據: 
）
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出
關于
的線性回歸方程
；
（3）試根據求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力．
參考公式：
，
；相關系數
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某企業生產的某種產品中抽取
件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如頻率分布直方圖：
（1）求這件產品質量指標值的樣本平均數
和樣本方差
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值
服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差.
①利用該正態分布，求
；
②某用戶從該企業購買了
件這種產品，記
表示這件產品中質量指標值位于區間
的產品件數.利用①的結果，求
.
附：
.若
，則
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在城市舊城改造中，某小區為了升級居住環境，擬在小區的閑置地中規劃一個面積為
的矩形區域（如圖所示），按規劃要求：在矩形內的四周安排
寬的綠化，綠化造價為200元/
，中間區域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/.設矩形的長為
.
（1）設總造價
（元）表示為長度的函數；
（2）當取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.
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