Question

（19）如圖，橢圓（2，0）、B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=。

   （Ⅰ）求橢圓方程；

   （Ⅱ）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF₂的中點，求證：∠ATM=∠AF₁T。

Answer 1

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

解：（Ⅰ）過點A、B的直線方程為.

因為由題意得有惟一解，

即有惟一解，

所以

       △=   （ab≠0）,

故  ，

    又因為，即，

所以

    從而得，

故所求的橢圓方程為  。

          （Ⅱ）由（Ⅰ）得，

                故

                從而M

                     由解得

                所以T（1，）.

                因為，

                又 ，得

                    

                            =

                 因此