Question

(19)如圖，橢圓 (a＞b＞0)與過點A(2，0)、B(0，1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設F_l、F₂分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|²=|AF₁|·|AF₂|．

Answer 1

本題主要考查直線與橢圓的位置關系、橢圓的幾何性質，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。解：（Ⅰ）過A、B的直線方程為

因為由題意得有惟一解，

即（+）x²-a²x+a²-a²b²=0有惟一解，

所以

Δ=a²b² (a²+4b²-4)=0(ab≠0),

故a²+4b²-4=0.

又因為e=即

所以a²=4b².

從而得a²=2，b²=，

故所需求的橢圓的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=

     所以F₁（-，0），F₂（，0）.

         由解得x₁=x₂=1，

     因此T（1，）.

     從而|AT|²=

     因為|AF₁|·|AF₂|=，

     所以|AT|²=|AF₁|·|AF₂|.