Question

已知a≥0，函數f（x）=x²+ax．設x1∈(-∞，-

a

2

)，記曲線y=f（x）在點M（x₁，f（x₁））處的切線為l，l與x軸的交點是N（x₂，0），O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：x2=

x 2 1

2x1+a

；
（Ⅱ）若對于任意的x1∈(-∞，-

a

2

)，都有

OM

•

ON

＞

9a

16

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f'（x），把x=x₁代入到導函數中求出切線l的斜率，并代入到f（x）中求出f（x₁），寫出切線方程，然后令y=0求出與x軸的交點橫坐標x即x₂得證；
（Ⅱ）根據第一問寫出M和N的坐標，算出

OM

與

ON

的數量積，當a等于0時不等式成立，當a大于0時設g（x₁）等于數量積，求出導函數等于0時，x₁的值，然后利用x1∈(-∞，-

a

2

)討論導函數的正負得到函數的單調區間，利用函數的增減性得到g（x₁）的最小值大于

9a

16

列出關于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）證明：對f（x）求導數，得f'（x）=2x+a，故切線l的斜率為2x₁+a，
由此得切線l的方程為y-（x₁²+ax₁）=（2x₁+a）（x-x₁）．
令y=0，得x2=-

x 2 1 +ax1

2x1+a

+x1=

x 2 1

2x1+a

．
（Ⅱ）由M(x1，

x

2 1

+ax1)，N(

x 2 1

2x1+a

，0)，得

OM

•

ON

=

x 3 1

2x1+a

．
所以a=0符合題意；
當a＞0時，記g(x1)=

x 3 1

2x1+a

，x1∈(-∞，-

a

2

)．
對g（x₁）求導數，得g′(x1)=

x 2 1 (4x1+3a)

(2x1+a)2

，
令g'（x₁）=0，得x1=-

3a

4

∈(-∞，-

a

2

)．
當x1∈(-∞，-

a

2

)時，g'（x₁）的變化情況如下表：
所以，函數g（x₁）在(-∞，-

3a

4

)上單調遞減，
在(-

3a

4

，-

a

2

)上單調遞增，從而函數g（x₁）的最小值為g(-

3a

4

)=

27

32

a2．
依題意

27

32

a2＞

9a

16

，解得a＞

2

3

，即a的取值范圍是(

2

3

，+∞)．
綜上，a的取值范圍是(

2

3

，+∞)或a=0．

點評：考查學生會進行平面向量的數量積的運算，掌握不等式恒成立時所取的條件，會利用導數求閉區間上函數的最小值，會利用導數研究曲線上某點切線的方程．