Question

已知a≥0，函數f（x）=（x²-2ax）e^x．
（1）當a=0時討論函數的單調性；
（2）當x取何值時，f（x）取最小值，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入f（x）對其進行求導，得到最值，利用導數研究其最值問題，從而求解；
（2）當x取何值時，f（x）取最小值，可以對f（x）進行求解，利用導數研究其單調性，注意x≤0時，f（x）是大于0的，利用此信息進行求解；

解答：解：（1）a=0，可得f（x）=x²e^x，可得f′（x）=2xe^x+x²e^x=e^x（x²+2x），
若f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2，f（x）是增函數，
若f′（x）＜0，可得-2＜x＜0，可得f（x）是減函數，
∴f（x）的增區間為：（0，+∞），（-∞，-2）；
f（x）的減區間為：（-2，0）；
（2）∵a≥0，函數f（x）=（x²-2ax）e^x．
當x≤0時f（x）≥0…（8分）
f′（x）=（2x-2a）e^x+e^x（x²-2ax）=e^x（x²-2ax+2x-2a），
令f′（x）=0，可得x²-2ax+2x-2a=0，△=2

1+a2

＞0，
可得x₁=a-1+

1+a2

，x₂=a-1-

1+a2

，
f（x）在（x₂，x₁）上為減函數，
f（x）在（x₁，+∞），（-∞，x₂）上為增函數，
∵當x≤0時f（x）≥0…（8分）
f（x）在x=a-1+

1+a2

處取得極小值也是最小值；
然后由f（x）在[0，+∞）上單調性即得：
當x=a-1+

1+a2

時取得最小值；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值問題，第一問是一種特殊的情況，第二問一種普遍的情況，此題是一道基礎題；