Question

如圖，四邊形ABCD是一個邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一點，現有一位開發商想在平地上建造一個兩邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR．
（1）若∠PAT=θ，試寫出四邊形RPQC的面積S關于θ的函數表達式，并寫出定義域；
（2）試求停車場的面積最大值．

Answer 1

分析：（1）延長RP交AB于M，設∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），則AM=90cosθ，MP=90sinθ，PQ=100-cosθ，PR=100-90sinθ．由S_PQCR=PQ•PR能求出四邊形RPQC的面積S關于θ的函數表達式，并能寫出定義域．
（2）設t=cosθ+sinθ．由0°≤θ≤90°，知t∈[1，

2

]，cosθsinθ=

t2-2

2

，由此能求出停車場面積的最大值．

解答：解：（1）延長RP交AB于M，設∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），
則AM=90cosθ，MP=90sinθ，
PQ=100-cosθ，PR=100-90sinθ．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosθ）（100-90sinθ）
=10000-9000（cosθ+sinθ）+8100cosθsinθ，{θ|0≤θ≤

π

2

}．
（2）設t=cosθ+sinθ，
∵0°≤θ≤90°，
∴t∈[1，

2

]，cosθsinθ=

t2-2

2

SPQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050(t-

10

9

)2+950．
∴當t=

2

時，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：長方形停車場PQCR面積的最大值為14050-9000

2

平方米．

點評：本題考查函數在生產實際中的具體運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意分析數量間的相互關系，合理地建立方程．易錯點是忽視數學表達式在生產實際中的定義域的范圍．