Question

若x，y∈R，且滿足y=

1

2

x²，求證：log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：由x+y=x+

1

2

x2=

1

2

(x+1)2-

1

2

，得x+y的最小值為-

1

2

，從而2^x+2^y≥2

2x+y

＞2

2- 1 2

=2

3

4

，由此能證明log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

解答： 解：∵x，y∈R，且滿足y=

1

2

x²，
∴x+y=x+

1

2

x2=

1

2

(x+1)2-

1

2

，
∴x+y的最小值為-

1

2

，
當且僅當x=-1，y=

1

2

時，x+y取最小值，
∴2^x+2^y≥2

2x+y

＞2

2- 1 2

=2

3

4

，
∴log₂（2^x+2^y）＞

3

4

．

點評：本題考查不等式的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．