Question

已知實數x，y滿足sinx+siny=1，求cosx+cosy的最大值和最小值．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：利用完全平方公式化簡（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²，并利用同角三角函數間基本關系及兩角和與差的余弦函數公式變形，把sinx+siny的值代入，根據余弦函數的值域確定出（cosx+cosy）²的范圍，即可求出cosx+cosy的．

解答： 解：（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²=sin²x+2sinxsiny+sin²y+cos²x+2cosxcosy+cos²y=2+2cos（x-y），
將sinx+siny=1代入得：1+（cosx+cosy）²=2+2cos（x-y），
即（cosx+cosy）²=1+2cos（x-y）≤1+2×1=3，
∵-1≤cos（x-y）≤1，
∴-1≤1+2cos（x-y）≤3，
∴0≤（cosx+cosy）²≤3，
解得：-

3

≤cosx+cosy≤

3

，
則cosx+cosy的最大值和最小值分別為

3

，-

3

．

點評：此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵，屬于基本知識的考查．