已知函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）若函數滿足：
①對任意的
，
，當
時，有
成立；
②對
恒成立.求實數
的取值范圍.
（1）
在
上單調遞減，在
上單調遞增；（2）
.
解析試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性和最值等性質等基礎知識，同時考查分類討論等綜合解題能力.第一問，對求導，求導后還無法直接判斷
的正負，所以再次求導，得到
恒大于0，則
在
上單調遞增，而
，所以當
時，
，當
時，
，故在上單調遞減，在上單調遞增；第二問，<1>由第一問函數的單調性可知，必異號，不妨設
，先證明一個結論：當
時，對任意的
有
成立，當
時，對任意的有
成立，構造函數，利用函數研究函數的單調性和最值證明結論，最后得出結論，當時，當且僅當時，有成立；<2>由題意分析只需
即可，通過上一步的證明，得到
，而
在
和
中取得，作差比較和的大小，從而得到，代入到上式即可.
試題解析：（1）
，
令
，則
，
從而在上單調遞增，即在上單調遞增，又，
所以當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）由（1）可知，當，時，必異號，不妨設，
我們先證明一個結論：當時，對任意的有成立；
當時，對任意的有成立.
事實上，
，
構造函數
，
，
，（當且僅當
時等號成立），又
，
當
時，
，所以
黃岡小狀元解決問題天天練系列答案
三點一測快樂周計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝
ax2＋bx(a≠0)，設函數f(x)的圖象C1與函數g(x)的圖象C2交于兩點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在點M處的切線與C2在點N處的切線互相平行？若存在，求出點R的橫坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設y＝f(x)是二次函數，方程f(x)＝0有兩個相等的實
根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表達式；
(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4(a∈R)．
(1)若函數y＝f(x)的圖象在點P(1，f(1))處的切線的傾斜角為
，求f(x)在[－1,1]上的最小值；
(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使f(x0)＞0，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某工廠生產某種產品,每日的成本C(單位:元)與日產量x(單位:噸)滿足函數關系式C=10000+20x,每日的銷售額R(單位:元)與日產量x滿足函數關系式R=
已知每日的利潤y=R-C,且當x=30時,y=-100.
(1)求a的值.
(2)求當日產量為多少噸時,每日的利潤可以達到最大,并求出最大值.
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．
的單調區間；
上的最值．
．
時，求曲線
在
處的切線方程；
時，求函數
，若對于
，
，使
成立，求實數
的取值范圍.