Question

【題目】設橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）； （2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.

（2）先排除斜率為0時的情況，設，，聯立方程組利用韋達定理得到，，根據化簡得到，代入直線方程得到答案.

（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標準方程是.

（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜率不為0.

設，，直線的方程為

聯立，整理得

則，.

因為直線與直線的斜率之和為1，所以，

所以，

將，代入上式，整理得.

所以，即，

則直線的方程為.

故直線恒過定點.