Question

【題目】如圖，已知橢圓，分別為其左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與此橢圓相交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與點(diǎn)，過(guò)的動(dòng)直線(xiàn)（不與軸平行）與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．求證：

（i）三點(diǎn)共線(xiàn)．

（ii）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

Ⅰ由三角形的周長(zhǎng)可得，根據(jù)離心率可得，即可求出，則橢圓方程可求；Ⅱ當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿(mǎn)足Q，A，三點(diǎn)共線(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用向量證明．由可知Q，A，三點(diǎn)共線(xiàn)，即，問(wèn)題得以證明.

解：Ⅰ的周長(zhǎng)為8，，即，

，，，

故橢圓C的方程為

Ⅱ證明：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿(mǎn)足Q，A，三點(diǎn)共線(xiàn)．

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，

聯(lián)立，得．

設(shè)，，則，

，，

，，

．

與共線(xiàn)，則Q，A，三點(diǎn)共線(xiàn)．

由可知Q，A，三點(diǎn)共線(xiàn)，