Question

已知函數f(x)=lnx+

a

x

-a(a∈R)
（I）求f（x）的單調區間；
（II）求證：不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

對一切x∈(1，2)恒成立．

Answer 1

分析：（I）求導函數，對參數進行分類討論：若a≤0，則f′（x）＞0，函數為增函數；若a＞0，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調增區間，令f′（x）＜0，可得單調減區間；
（II）構造函數f(x)=

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

，求導函數，可得f'（x）=-

1

xln2x

+

1

(x-1)2

=

(x-1)2-xln2x

x(x-1)2ln2x

，令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=

2(x-lnx-1)

x

，設h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），證明h（x）在（1，2）上單調增，從而可得g'（x）在（1，2）上單調增，進一步可得g（x）在（1，2）上單調增f（x）在（1，2）上單調減，即可得到結論．

解答：（I）解：求導函數，可得f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）
若a≤0，則f′（x）＞0，函數為增函數，函數的單調增區間為（0，+∞）
若a＞0，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
∴f（x）的單調增區間為（a，+∞），單調減區間為（0，a）；
（II）證明：設f(x)=

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

，求導函數，可得f'（x）=-

1

xln2x

+

1

(x-1)2

=

(x-1)2-xln2x

x(x-1)2ln2x

令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=

2(x-lnx-1)

x

，
設h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），h'（x）=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，2）上單調增，∴h（x）＞h（1）=0，
∴g“（x）＞0，g'（x）在（1，2）上單調增，∴g'（x）＞g'（1）=0，
∴g（x）在（1，2）上單調增，∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上單調減，f（x）＜f（2）＜0，
∴

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

＜0
∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，解題的關鍵是利用導數確定函數的單調性．