Question

【題目】設數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an ， n∈N* ． 設Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1Sn ， n∈N*
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=bnlog3an ， 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；
（Ⅲ）證明：對任意n∈N*且n≥2，有 + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比為3，首項a1=1的等比數(shù)列，

∴通項公式為an=3n﹣1．

∵2bn﹣b1=S1Sn，∴當n=1時，2b1﹣b1=S1S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．

∴當n＞1時，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1，

∴{bn}是公比為2，首項a1=1的等比數(shù)列，

∴通項公式為bn=2n﹣1．

（Ⅱ）cn=bnlog3an=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1，

Tn=020+121+222+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①

2Tn=021+122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②

①﹣②得：﹣Tn=020+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n

=2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n

∴Tn=（n﹣2）2n+2．

（Ⅲ） = = = ≤ + + +…+

＜ + +…+ =

= （1﹣ ）＜

【解析】（Ⅰ）判斷an}是等比數(shù)列，求出通項公式，判斷{bn}是等比數(shù)列，求出通項公式為bn．（Ⅱ）化簡cn的表達式，利用錯位相減法求解Tn即可．（Ⅲ）化簡 并利用放縮法，通過數(shù)列求和證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．